积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。
积分第一中值定理
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设
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
为一连续函数，
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
要求
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
使得
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
ξ
)
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx}
。
证明
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在不失去一般性的条件下，设对所有
x
{\displaystyle x}
，有
g
(
x
)
≥
0
{\displaystyle g(x)\geq 0}
；
因为
f
{\displaystyle f}
是闭区间上的连续函数，
f
{\displaystyle f}
取得最大值
M
{\displaystyle M}
和最小值
m
{\displaystyle m}
。于是
m
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
M
g
(
x
)
{\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}
对不等式求积分，我们有
m
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
M
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx}
。
若
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}
，则
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}
。
ξ
{\displaystyle \xi }
可取
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上任一点。
若不等于零那么
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
>
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0}
，
m
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
M
{\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M}
因为
m
≤
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M}
是连续函数，根据介值定理，则必存在一点
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
，使得
f
(
ξ
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}
g
(
x
)
<
0
{\displaystyle g(x)<0}
的情况按同样方法证明。
积分第一中值定理推论的几何意义
推论（拉格朗日中值定理的积分形式）
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在上式中令
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle g(x)=1}
，则可得出：
设
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }
为一连续函数，则∃
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
，使
f
(
ξ
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
b
−
a
{\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}
它也可以由拉格朗日中值定理推出：
设
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上可导，
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=F^{\prime }(x)}
，则∃
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
，使
f
(
ξ
)
=
F
′
(
ξ
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
b
−
a
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
b
−
a
{\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}
积分第二中值定理
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积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。
内容
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若
f
,
g
{\displaystyle f,g}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上黎曼可积且
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上单调，则存在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上的点ξ使
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
∫
a
ξ
g
(
x
)
d
x
+
f
(
b
)
∫
ξ
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}
退化态的几何意义
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第二积分中值定理退化形式的几何意义
令
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle g(x)=1}
，则原公式可化为：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
(
ξ
−
a
)
+
f
(
b
)
(
b
−
ξ
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}
进而导出：
∫
a
ξ
f
(
x
)
d
x
−
f
(
a
)
(
ξ
−
a
)
=
f
(
b
)
(
b
−
ξ
)
−
∫
ξ
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}
此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]
应用
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关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。